La combinatoire est la base de la logique leibnizienne.Notre plan : le postulat fondamental, son corollaire, les objections.Postulat fondamental : toutes les idées humaines sont décomposables en notions simples ne possédant aucun élément commun.Corollaire : toutes les notions purement positives sont compatibles entre elles. Objections : 10 Leibniz méconnaît la négation ; — 2° Leibniz néglige la relation ; — 3° la compénétration de tous les concepts par la notion d’être empêche d’admettre l’existence d’idées simples ne possédant aucun élément commun.

La solution des antinomies s’accomplit en 3 étapes. 1° La théorie des types de Russell avec l’axiome de réductibilité. 2° Ramsey divise les antinomies en deux groupes. Le premier groupe reçoit sa solution de la simple théorie des types ; seul, le groupe élargi exige l’axiome de réductibilité. 3° Hilbert fonde la théorie métamathématique de la preuve, que les logiciens polonais élargissent en une métalogique. Gödel découvre l’arithmétisation et il prouve l’existence de propositions insolubles. Tarski montre que le concept de vérité ne peut être défini sans contradiction que dans un métalangage. Carnap généralise ce résultat, ce qui fait que les antinomies syntactiques sont sans dommage pour la science.

L’extension de la logique aristotélicienne ne doit s’entendre ni par voie d’opposition, ni par voie de simple développement, mais plutôt par voie de différenciation progressive. On trouvera ainsi dans cette logique tant la défense des fondements essentiels de la connaissance que le germe des développements possibles de la logique et la justification des acquisitions positives de la logique moderne.

Pour la logique à m valeurs, selon Lukasiewicz, l’on introduit un système de négations généralisées (c’est-à-dire de liaisons d’expressions à un seul membre), qui sont caractérisées par l’indication de leurs matrices. On montre :1° Que ces négations généralisées peuvent se définir explicitement au moyen des liaisons fondamentales, négation et implication ;2° Qu’elles permettent de formuler des généralisations des principes du tiers exclu et de contradiction pour la logique à m valeurs ;3° Qu’elles permettent de prendre les matrices ordinaires au sens de règles de transformation et de construire ainsi une syntaxe spécifique pour tout système à m valeurs.

Cette communication a pour objet de montrer la fécondité de la « règle réiste » issue de Brentano, d’après laquelle les objets de la pensée ou jugement sont des choses au sens d’être et non au sens de vérité. Appliquée à la question des vérités éternelles, cette règle permet, dans l’analyse du jugement, de montrer l’erreur de la théorie métaphysique qui donne une réalité à la vérité prise en elle-même.

1. Position de la question. — 2. Conditions de la non-contradiction du calcul logique. Postulats de Tarski. — 3. Les logiciens conventionalistes (Lewis, Hahn, Carnap). — 4. Critique du principe des conventionalistes : convention et vérité. — 5. Autres difficultés. — 6. Le calcul logique et la logique.

1. Les procédés de construction du calcul logique classique. Les expressions. Les propositions. Les propositions syntactiques. Les propriétés ou rapports de structure. On recherche ici un système d’axiomes d’où puissent se déduire les propriétés de structure, sans aucun appel à l’intuition. — 2. Les quatre axiomes de 1’« arithmétique généralisée ». — 3. Extension de ce système d’axiomes au système d’axiomes de la syntaxe du calcul logique. Possibilité de déduire des propositions syntactiques sans revenir à l’intuition. — 4. L’avantage de la méthode axiomatique.

La mathématique est conditionnée par un objet formel constructif. De même, la logique. L’objet formel est identique pour les deux disciplines. Il est de nature rameuse. L’auteur donne quelques indications sur la théorie des ramifications qu’il a instituée. Il termine en signalant que la logique des prédicats et la distributivité du produit logique ont pour objet véritable la variété multidimensionnelle discrète des mathématiciens, un objet dont la genèse rameuse est une pièce importante de sa théorie.

Que la prédication n’est pas toujours attributive, et que le prédicat est seul nécessaire au jugement et à la phrase. — La logique classique, en mettant le prédicat dans le rapport, excluait le rapport du jugement ; le rapport véritablement posé est inhérent au prédicat et constitue le contenu rée] de la pensée. — Son expression dans la pensée mathématique et dans la pensée spontanée. — De l’appréciation exacte des rôles respectifs du sujet et du prédicat, et de leur signification dans la théorie de la connaissance.

Sans difficulté les équations de la logistique peuvent servir à confirmer les autres preuves. Les quatre sortes classiques de propositions peuvent se traduire en équations ou en équations nulles. Par là on rend plus intuitive la preuve de la validité des formes du syllogisme. La généralisation que l’on obtient ainsi dans la syllogistique est particulièrement importante pour la logique. Pour cela, on présente les formules indispensables, on montre la formation de l’équation nulle développée, où l’on peut lire toutes les relations virtuellement contenues dans les prémisses. Un exemple illustre le procédé.

La logique traditionnelle, dite logique pure, est une logique des classifications, reposant sur le principe d’identité ; elle exclut les relations telles que les relations mathématiques, parce qu’elle se borne à l’unique catégorie de la substance. L’auteur distingue une logique pure, véritablement universelle, qui contient les principes de l’accord de la pensée avec elle-même, et une logique catégorique ou ontologique ayant pour but d’établir l’accord de la pensée réfléchie avec la réalité expérimentée ; cette logique contient autant de branches que de groupes de catégories, et l’on peut distinguer la logique mathématique, la logique des classifications, la logique des comportements (logique polyvalente de Reichenbach, logique potentielle de Pastore).

La théorie traditionnelle des concepts étant classificatoire, ne comprend qu’une partie des formes de notre pensée. Comme complément nécessaire, l’auteur met en relief l’importance d’une catégorie de concepts qu’il propose de dénommer « concepts ordinateurs », parce qu’ils déterminent un certain ordre des objets de leur domaine d’application. Leur structure logique est élucidée par la théorie logistique des relations. L’auteur compare les avantages et les désavantages des deux formes de pensée et explique les raisons pour lesquelles une tendance à favoriser les concepts ordinateurs correspond au progrès de notre connaissance.

Chaque science fondée sur des idées générales doit être relative. Il y a pourtant une science exacte qui n’est pas relative. C’est la sémantique rationnelle. Cette science concerne les expressions qu’on peut construire à l’aide de deux signes donnés d’avance. Elle n’admet que la notion de substitution, une notion élémentaire du type d’expression et les notions du calcul logique élémentaire. Elle nous met en état de construire un système de métamathé- matique symbolique qui embrasse les mathématiques entières. Elle nous fournit les moyens d’une critique objective des notions philosophiques.

L’auteur examine la thèse qu’une proposition possède un caractère scientifique, en tant qu’elle est susceptible d’être vérifiée ou réfutée. Dans les systèmes déductifs, seuls les systèmes complets possèdent cette propriété. Mais les systèmes incomplets ne la possèdent pas. Il est, en principe, impossible de compléter certains systèmes incomplets.Dans les sciences empiriques, le problème de la vérification ou de la réfutation est lié au rapport des énoncés protocolaires (énoncés de base) avec les énoncés généraux (lois empiriques). Ici, la difficulté naît du fait que les mêmes énoncés de base peuvent vérifier différentes lois empiriques, ou même différentes théories (entendues comme ensembles des lois). La réfutation n’est jamais définitive : donc le procédé empirique des vérifications et des réfutations peut être continué indéfiniment, et il est bien possible que l’idéal d’une science finie ne sera jamais atteint.

Le progrès d’une science comme la physique détermine dans la logique un mouvement correspondant ; elle aussi est en devenir. Dans le monde atomique en particulier, les relations d’incertitude d’Heisenberg et l’existence de valeurs quantifiées conduisent à la construction d’une logique mieux adaptée à ce genre de recherches, logique trivalente (Vrai, Faux, Absurde), et de genre doux, c’est-à-dire dans laquelle les couples de propositions peuvent être soit composables, soit incomposables, par rapport à l’opération produit.

Le but principal de la communication est d’esquisser les traits essentiels de la méthode appliquée dans les sciences déductives.1. A quoi tend la méthode déductive ? Termes primitifs et définis ; axiomes et théorèmes. Les sciences antérieures à une science donnée. La méthode déductive considérée comme propriété caractéristique des mathématiques.2. Liberté dans le choix des termes primitifs et des axiomes ; notion d’équivalence de deux systèmes de termes ou de propositions.Postulats d’indépendance des termes primitifs et des axiomes.3. Postulats de la formalisation des définitions et des démonstrations. Règles de définition et de démonstration ; les démonstrations complètes ; les sciences déductives formalisées. Le rôle de la logique mathématique au point de vue des nouvelles exigences méthodologiques.4. Les notions de science non-contradictoire et complète. L’importance théorique de ces notions ; leur rapport avec le problème de la vérité des mathématiques. Pourquoi les notions en question n’exercent pas en pratique une grande influence sur la construction des sciences mathématiques.5. Certaines propriétés des sciences mathématiques découlant d’une application conséquente de la méthode déductive. Abstraction du sens des termes primitifs dans la construction de la science. Modèles et interprétations du système d’axiomes. Concept de système formel. Valeur de la méthode déductive du point de vue de l’économie de la pensée.

I. Philosophie scientifique et Syntaxe logique. Nécessité d’une interprétation. — II. Logique et mathématique. La distinction kantienne : « analytique »-« synthétique » est remplacée par une distinction entre « formel » et « objectif ». Touchant ici la mathématique et la logique, on traite surtout du côté objectif : qui, en mathématique, consiste dans l’existence de rapports mathématiques, indépendants de la formulation en proposition, et dans la véri- ficabilité de lois arithmétiques ; en logique, dans le rapport implicite des termes et des principes à certains caractères de la réalité. — III. Arithmétique et géométrique sont distingués selon la considération du discret et du continu. Précision formelle des concepts mathématiques intuitifs. — IV. Pour la problématique des fondements. Réflexions et indications sur la situation présente des recherches.

C’est principalement l’introduction de la notion de l’infini sous plusieurs formes successives et distinctes qui, à diverses époques, a placé la mathématique dans l’obligation de créer de nouvelles catégories logiques (axiomes, définitions, types de raisonnements), celles dont elle disposait précédemment ne lui permettant pas d’aborder avec succès les problèmes posés par les notions nouvelles. Mais l’élaboration de ces compléments logiques n’a pas été le fruit de vues a priori de l’esprit. Celui-ci a longuement, et sans apercevoir de lui- même ses erreurs, raisonné faussement, abusant des pétitions de principe, des postulats gratuits. C’est par une voie d’empirisme, en attendant l’apparition spontanée des conséquences contradictoires, des faits démentant des affirmations trop générales, que les mathématiciens ont progressivement amendé la logique dont ils usaient dans l’exploration de ces nouveaux domaines.L’auteur examine les axiomes de la logique mathématique actuelle résolvant le paradoxe d’Achille et de la tortue, les catégories logiques introduites par la considération des infiniment petits et des variables continues, par le transfmi.

On montre comment on peut établir la non-contradiction d’une discipline sans l’arithmétiser et l’on précise la relation, même en logique intui- tionniste, entre la non-contradiction, la compatibilité et l’indépendance d’un système de propositions. On analyse ainsi la démonstration classique de la non- contradiction de la géométrie lobatchefskienne. Et l’on indique que la vérité des propositions mathématiques est relative.Quant à la cohérence de la logique elle-même, il ne semble pas que l’on connaisse actuellement de moyen sûr de l’établir.

La communication se divise ainsi : 1° elle indique l’ambiguïté du terme « formel », puisqu’on le dit d’une part de la logique classique (logique formelle) et d’autre part (comme il arrive dans les recherches modernes sur les fondements des mathématiques) d’un calcul, considéré comme ensemble désignés sans signification ; 2° elle éclaircit, grâce à l’analyse d’une opération de calcul, ce qu’il y a de commun aux deux concepts ; 3° elle montre comment les concepts formels sont liés aux concepts non formels, qui ont un contenu. Cette question est étroitement connexe de celle du rapport de la logique et de la mathématique pure d’une part, de l’expérience d’autre part ; 4° elle analyse le concept des nombres naturels, et elle étend les résultats obtenus à la mathématique pure.