Examen de la situation actuelle dans le problème du fondement des mathématiques : rejet forcé de la solution formaliste ; critique de la solution intuitionniste ; position d’immanence exigée par l’analyse du processus d’abstraction mathématique.

J’essaie de montrer que la réalité inhérente aux théories mathématiques leur vient de ce que dans leur mouvement propre s’incarne comme le schéma des liaisons que soutiennent entre elles certaines idées abstraites dominatrices par rapport aux Mathématiques. Je montre en particulier comment le problème des rapports de Yessence et de Y existence reçoit dans les théories mathématiques effectives une solution toute différente de celles de l’intuitionnisme ou du formalisme.

En créant la géométrie analytique, Descartes semblait vouloir enlever même à la géométrie tout ce qui lui restait de qualitatif et d’empirique* Par ce fait, pour les rationalistes, la géométrie analytique présentait un des triomphes de la « vérité indépendante de Vempirisme et de toute psychologie ».Mais, néanmoins, une fois inventée et construite, la géométrie analytique commençait une vie à soi, devenait une entité vivante qui dispose d’elle-même, donnant au nombre avec le lieu géométrique sa valeur qualitative, accessible à l’expérience des sens, ce qui est inversement un triomphe de l’empirisme sur le rationalisme.

L’auteur envisage sous quelques-uns de ses aspects la contribution que la géométrie analytique a apportée à la géométrie : introduction de la notion d’espace à n dimensions, avec les applications que cette notion apporte dans l’étude des figures tracées dans l’espace ordinaire ; généralisations diverses de la notion de coordonnées ; introduction des éléments imaginaires. L’auteur montre également comment c’est la géométrie analytique qui a fourni une démonstration rigoureuse de la non-contradiction de la géométrie non euclidienne et le rôle indispensable qu’elle doit jouer dans toute discussion sur les principes de la géométrie.

Toute opération mathématique vraiment bien définie est réversible. Cas des fonctions multiformes. Notion d’origine d’une grandeur. La classe des nombres définis par leur valeur et leur origine. Le concept de passage à la limite. Opération du passage à la limite. Opération du retour de la limite. Distinction entre une grandeur non existante et une grandeur annihilée par un passage à la limite.

L’auteur cherche à montrer cru’un appel à l’évidence intuitive pour fonder les mathématiques n’est ni rejetable (comme il est prouvé par les recherches des intuitionnistes et des métamathématiciens), ni évitable, (comme il suit d’une analyse critique de la méthode syntactique de Carnap). Cet appel à l’intuition nécessite (à cause du caractère parfois trompeur de l’intuition) un fondement subjectif des mathématiques à côté du fondement objectif.

La géométrie est un système catégorique de propositions non contradictoires entre elles. Parmi tous les systèmes de cette sorte, elle est privilégiée par le fait ultérieur que ses objets et leurs relations mutuelles peuvent être réalisés au moyen d’entités mathématiques. Le problème se pose de savoir sous quelles conditions primitives un système non contradictoire et catégorique peut être considéré comme une géométrie. Dans cet ordre d’idées, l’auteur expose les raisons, de nature intuitive, qui permettent d’introduire des coordonnées dans un système donné.

Devant l’intuitionisme, on conçoit un cours d’analyse amputé du nombre irrationnel. Des théorèmes qui semblent liés à l’arithmétisation du continu subsistent pourtant, dans le style finitiste, remplaçant le style totalitaire. Le trait d’union est le critère de convergence de Cauchy. Cette idée révèle des domaines de non-contradiction et favorise les efforts de coordination, par exemple pour les problèmes d’une infinité d’équations à une infinité d’inconnues.

C’est la critique des fondements mathématiques du pythagorisme qui fait la portée essentielle des apories de Zenon. Elle montre quelles conceptions s’opposaient alors à l’utilisation du continu et pourquoi l’époque de Zénon est soumise au règne persistant de la discontinuité. On ne doit pas faire remonter à Zénon l’origine du calcul infinitésimal. Interprétation des principaux arguments.

L’abîme entre le caractère individuel du discret et le caractère homogène du continu est resté, depuis la philosophie grecque jusqu’à nos jours un des problèmes centraux de la logique et des fondements des mathématiques. On a obtenu des progrès dans la méthode, mais fort peu dans les résultats. Du côté quantitatif, le problème est éclairé par le principe de non-dénombrabilité du continu. De la conception atomistique du continu, par le finitisme de l’école de Paris, le néo-intuitionnisme de Brouwer, la théorie dogmatique des Principia Mathematica, jusqu’à la méthode axiomatique, qui s’appuie sur une preuve de la non-contradiction ou sur un réalisme platonicien, ces écoles introduisent un grand nombre de nuances qui, dans ces dernières années, sont de plus en plus près de s’entendre réciproquement.

Les divers points de vue relatifs au concept mathématique de l’infini sont ordonnés en série croissante d’après le degré où l’on reconnaît ce concept en ses diverses complications. Cette série est divisée en trois groupes : la mathématique du fini, la « conception constructive », et la « conception en soi » de l’infini. D’après cette série, l’on explique le programme d"Hilbert, qui est de prouver que la mathématique est libre de contradiction, et l’on rapporte brièvement les méthodes qui sont en question pour administrer cette preuve.

La recherche d’une condition nécessaire et suffisante pour éviter les antinomies de la théorie des ensembles nous amène à formuler deux règles (dont le champ d’application dépend des directives du système donné) qui défendent l’introduction, dans le système, de certaines définitions non-prédicatives. L’observation de ces règles limite l’application de l’opération cantorienne, de sorte qu’on en arrive à distinguer, parmi les ensembles infinis, ceux dont la puissance fait partie de la série des alephs, et ceux dont la puissance dépasse n’importe lequel des termes de cette série.

La ligne faite de points peut-elle prétendre à la continuité ?Depuis Dedekind et Cantor, les mathématiciens l’affirment.Le « continu » linéaire, grâce aux points irrationnels, est un fait. Cela requiert pourtant que ces derniers soient infiniment plus nombreux que les points rationnels.Nous essaierons de montrer que la génération du point irrationnel est incompatible avec cette infinité, que :1° L’ensemble des irrationnels est dénombrable.2° Le point irrationnel n’est pas un point mais un espace.

La science des nombres infinis, introduite par Cantor, semble être en conflit direct avec la philosophie, qui pose que le nombre infini est contradictoire.Nous examinerons les objections contre le nombre transfini. Nous arriverons au résultat, que le nombre infini, conçu comme symbole, satisfaisant à un certain nombre de postulats, n’est pas contradictoire, tandis que le nombre infini, déterminé, actuel et entier, a bien des propriétés contradictoires.Les objections contre le nombre infini reviennent à ce qu’on suppose tacitement, que le nombre infini doit avoir les propriétés des nombres finis ; et ensuite, on démontre facilement que le nombre infini est contradictoire.Il n’est pas permis d’appliquer la logique classique, qui est une résultante des propriétés des ensembles finis, aux nombres infinis, ce qui serait contraire à une logique plus générale, qui prescrit que l’application de certaines lois de la pensée ne doit pas excéder le domaine propre de ccs lois.