I. Philosophie scientifique et Syntaxe logique. Nécessité d’une interprétation. — II. Logique et mathématique. La distinction kantienne : « analytique »-« synthétique » est remplacée par une distinction entre « formel » et « objectif ». Touchant ici la mathématique et la logique, on traite surtout du côté objectif : qui, en mathématique, consiste dans l’existence de rapports mathématiques, indépendants de la formulation en proposition, et dans la véri- ficabilité de lois arithmétiques ; en logique, dans le rapport implicite des termes et des principes à certains caractères de la réalité. — III. Arithmétique et géométrique sont distingués selon la considération du discret et du continu. Précision formelle des concepts mathématiques intuitifs. — IV. Pour la problématique des fondements. Réflexions et indications sur la situation présente des recherches.

C’est principalement l’introduction de la notion de l’infini sous plusieurs formes successives et distinctes qui, à diverses époques, a placé la mathématique dans l’obligation de créer de nouvelles catégories logiques (axiomes, définitions, types de raisonnements), celles dont elle disposait précédemment ne lui permettant pas d’aborder avec succès les problèmes posés par les notions nouvelles. Mais l’élaboration de ces compléments logiques n’a pas été le fruit de vues a priori de l’esprit. Celui-ci a longuement, et sans apercevoir de lui- même ses erreurs, raisonné faussement, abusant des pétitions de principe, des postulats gratuits. C’est par une voie d’empirisme, en attendant l’apparition spontanée des conséquences contradictoires, des faits démentant des affirmations trop générales, que les mathématiciens ont progressivement amendé la logique dont ils usaient dans l’exploration de ces nouveaux domaines.L’auteur examine les axiomes de la logique mathématique actuelle résolvant le paradoxe d’Achille et de la tortue, les catégories logiques introduites par la considération des infiniment petits et des variables continues, par le transfmi.

On montre comment on peut établir la non-contradiction d’une discipline sans l’arithmétiser et l’on précise la relation, même en logique intui- tionniste, entre la non-contradiction, la compatibilité et l’indépendance d’un système de propositions. On analyse ainsi la démonstration classique de la non- contradiction de la géométrie lobatchefskienne. Et l’on indique que la vérité des propositions mathématiques est relative.Quant à la cohérence de la logique elle-même, il ne semble pas que l’on connaisse actuellement de moyen sûr de l’établir.

La communication se divise ainsi : 1° elle indique l’ambiguïté du terme « formel », puisqu’on le dit d’une part de la logique classique (logique formelle) et d’autre part (comme il arrive dans les recherches modernes sur les fondements des mathématiques) d’un calcul, considéré comme ensemble désignés sans signification ; 2° elle éclaircit, grâce à l’analyse d’une opération de calcul, ce qu’il y a de commun aux deux concepts ; 3° elle montre comment les concepts formels sont liés aux concepts non formels, qui ont un contenu. Cette question est étroitement connexe de celle du rapport de la logique et de la mathématique pure d’une part, de l’expérience d’autre part ; 4° elle analyse le concept des nombres naturels, et elle étend les résultats obtenus à la mathématique pure.

Examen de la situation actuelle dans le problème du fondement des mathématiques : rejet forcé de la solution formaliste ; critique de la solution intuitionniste ; position d’immanence exigée par l’analyse du processus d’abstraction mathématique.

J’essaie de montrer que la réalité inhérente aux théories mathématiques leur vient de ce que dans leur mouvement propre s’incarne comme le schéma des liaisons que soutiennent entre elles certaines idées abstraites dominatrices par rapport aux Mathématiques. Je montre en particulier comment le problème des rapports de Yessence et de Y existence reçoit dans les théories mathématiques effectives une solution toute différente de celles de l’intuitionnisme ou du formalisme.

En créant la géométrie analytique, Descartes semblait vouloir enlever même à la géométrie tout ce qui lui restait de qualitatif et d’empirique* Par ce fait, pour les rationalistes, la géométrie analytique présentait un des triomphes de la « vérité indépendante de Vempirisme et de toute psychologie ».Mais, néanmoins, une fois inventée et construite, la géométrie analytique commençait une vie à soi, devenait une entité vivante qui dispose d’elle-même, donnant au nombre avec le lieu géométrique sa valeur qualitative, accessible à l’expérience des sens, ce qui est inversement un triomphe de l’empirisme sur le rationalisme.

L’auteur envisage sous quelques-uns de ses aspects la contribution que la géométrie analytique a apportée à la géométrie : introduction de la notion d’espace à n dimensions, avec les applications que cette notion apporte dans l’étude des figures tracées dans l’espace ordinaire ; généralisations diverses de la notion de coordonnées ; introduction des éléments imaginaires. L’auteur montre également comment c’est la géométrie analytique qui a fourni une démonstration rigoureuse de la non-contradiction de la géométrie non euclidienne et le rôle indispensable qu’elle doit jouer dans toute discussion sur les principes de la géométrie.

Toute opération mathématique vraiment bien définie est réversible. Cas des fonctions multiformes. Notion d’origine d’une grandeur. La classe des nombres définis par leur valeur et leur origine. Le concept de passage à la limite. Opération du passage à la limite. Opération du retour de la limite. Distinction entre une grandeur non existante et une grandeur annihilée par un passage à la limite.

L’auteur cherche à montrer cru’un appel à l’évidence intuitive pour fonder les mathématiques n’est ni rejetable (comme il est prouvé par les recherches des intuitionnistes et des métamathématiciens), ni évitable, (comme il suit d’une analyse critique de la méthode syntactique de Carnap). Cet appel à l’intuition nécessite (à cause du caractère parfois trompeur de l’intuition) un fondement subjectif des mathématiques à côté du fondement objectif.

La géométrie est un système catégorique de propositions non contradictoires entre elles. Parmi tous les systèmes de cette sorte, elle est privilégiée par le fait ultérieur que ses objets et leurs relations mutuelles peuvent être réalisés au moyen d’entités mathématiques. Le problème se pose de savoir sous quelles conditions primitives un système non contradictoire et catégorique peut être considéré comme une géométrie. Dans cet ordre d’idées, l’auteur expose les raisons, de nature intuitive, qui permettent d’introduire des coordonnées dans un système donné.

Devant l’intuitionisme, on conçoit un cours d’analyse amputé du nombre irrationnel. Des théorèmes qui semblent liés à l’arithmétisation du continu subsistent pourtant, dans le style finitiste, remplaçant le style totalitaire. Le trait d’union est le critère de convergence de Cauchy. Cette idée révèle des domaines de non-contradiction et favorise les efforts de coordination, par exemple pour les problèmes d’une infinité d’équations à une infinité d’inconnues.

C’est la critique des fondements mathématiques du pythagorisme qui fait la portée essentielle des apories de Zenon. Elle montre quelles conceptions s’opposaient alors à l’utilisation du continu et pourquoi l’époque de Zénon est soumise au règne persistant de la discontinuité. On ne doit pas faire remonter à Zénon l’origine du calcul infinitésimal. Interprétation des principaux arguments.

L’abîme entre le caractère individuel du discret et le caractère homogène du continu est resté, depuis la philosophie grecque jusqu’à nos jours un des problèmes centraux de la logique et des fondements des mathématiques. On a obtenu des progrès dans la méthode, mais fort peu dans les résultats. Du côté quantitatif, le problème est éclairé par le principe de non-dénombrabilité du continu. De la conception atomistique du continu, par le finitisme de l’école de Paris, le néo-intuitionnisme de Brouwer, la théorie dogmatique des Principia Mathematica, jusqu’à la méthode axiomatique, qui s’appuie sur une preuve de la non-contradiction ou sur un réalisme platonicien, ces écoles introduisent un grand nombre de nuances qui, dans ces dernières années, sont de plus en plus près de s’entendre réciproquement.

Les divers points de vue relatifs au concept mathématique de l’infini sont ordonnés en série croissante d’après le degré où l’on reconnaît ce concept en ses diverses complications. Cette série est divisée en trois groupes : la mathématique du fini, la « conception constructive », et la « conception en soi » de l’infini. D’après cette série, l’on explique le programme d"Hilbert, qui est de prouver que la mathématique est libre de contradiction, et l’on rapporte brièvement les méthodes qui sont en question pour administrer cette preuve.

La recherche d’une condition nécessaire et suffisante pour éviter les antinomies de la théorie des ensembles nous amène à formuler deux règles (dont le champ d’application dépend des directives du système donné) qui défendent l’introduction, dans le système, de certaines définitions non-prédicatives. L’observation de ces règles limite l’application de l’opération cantorienne, de sorte qu’on en arrive à distinguer, parmi les ensembles infinis, ceux dont la puissance fait partie de la série des alephs, et ceux dont la puissance dépasse n’importe lequel des termes de cette série.

La ligne faite de points peut-elle prétendre à la continuité ?Depuis Dedekind et Cantor, les mathématiciens l’affirment.Le « continu » linéaire, grâce aux points irrationnels, est un fait. Cela requiert pourtant que ces derniers soient infiniment plus nombreux que les points rationnels.Nous essaierons de montrer que la génération du point irrationnel est incompatible avec cette infinité, que :1° L’ensemble des irrationnels est dénombrable.2° Le point irrationnel n’est pas un point mais un espace.

La science des nombres infinis, introduite par Cantor, semble être en conflit direct avec la philosophie, qui pose que le nombre infini est contradictoire.Nous examinerons les objections contre le nombre transfini. Nous arriverons au résultat, que le nombre infini, conçu comme symbole, satisfaisant à un certain nombre de postulats, n’est pas contradictoire, tandis que le nombre infini, déterminé, actuel et entier, a bien des propriétés contradictoires.Les objections contre le nombre infini reviennent à ce qu’on suppose tacitement, que le nombre infini doit avoir les propriétés des nombres finis ; et ensuite, on démontre facilement que le nombre infini est contradictoire.Il n’est pas permis d’appliquer la logique classique, qui est une résultante des propriétés des ensembles finis, aux nombres infinis, ce qui serait contraire à une logique plus générale, qui prescrit que l’application de certaines lois de la pensée ne doit pas excéder le domaine propre de ccs lois.

Causalité scientifique et sens commun. — Induction expérimentale et causalité. — Causalité simple et finalité. — Causalité et acte volontaire. — Statistique, probabilité et hasard. — L’ordre et le fortuit. — La cause selon les philosophes : Descartes et Pascal. — M. Brunschvicg et Émile Meyerson. — Le postulat de l’indépendance des séries causales. — Les causes et les lois.

Par une analyse portant à la fois sur les caractères de l’ordre et sur la nature de notre activité, l’auteur montre que cette notion a son fondement dans l’acte de la progression. La relation primitive de l’appui à l’élan lui offre le modèle de la notion de sens, tandis que la nécessité de reprendre appui au cours du mouvement rend compte de l’apparition de termes intermédiaires. L’adjonction d’éléments sensibles à l’acte pur du mouvement permet ensuite d’expliquer le renversement du sens de l’ordre et son indépendance à l’égard de la durée. Elle assure ainsi l’originalité de la notion vis-à-vis de la simple suite temporelle.