En créant la géométrie analytique, Descartes semblait vouloir enlever même à la géométrie tout ce qui lui restait de qualitatif et d’empirique* Par ce fait, pour les rationalistes, la géométrie analytique présentait un des triomphes de la « vérité indépendante de Vempirisme et de toute psychologie ».Mais, néanmoins, une fois inventée et construite, la géométrie analytique commençait une vie à soi, devenait une entité vivante qui dispose d’elle-même, donnant au nombre avec le lieu géométrique sa valeur qualitative, accessible à l’expérience des sens, ce qui est inversement un triomphe de l’empirisme sur le rationalisme.

La mathématique est conditionnée par un objet formel constructif. De même, la logique. L’objet formel est identique pour les deux disciplines. Il est de nature rameuse. L’auteur donne quelques indications sur la théorie des ramifications qu’il a instituée. Il termine en signalant que la logique des prédicats et la distributivité du produit logique ont pour objet véritable la variété multidimensionnelle discrète des mathématiciens, un objet dont la genèse rameuse est une pièce importante de sa théorie.

La géométrie est un système catégorique de propositions non contradictoires entre elles. Parmi tous les systèmes de cette sorte, elle est privilégiée par le fait ultérieur que ses objets et leurs relations mutuelles peuvent être réalisés au moyen d’entités mathématiques. Le problème se pose de savoir sous quelles conditions primitives un système non contradictoire et catégorique peut être considéré comme une géométrie. Dans cet ordre d’idées, l’auteur expose les raisons, de nature intuitive, qui permettent d’introduire des coordonnées dans un système donné.

Le progrès d’une science comme la physique détermine dans la logique un mouvement correspondant ; elle aussi est en devenir. Dans le monde atomique en particulier, les relations d’incertitude d’Heisenberg et l’existence de valeurs quantifiées conduisent à la construction d’une logique mieux adaptée à ce genre de recherches, logique trivalente (Vrai, Faux, Absurde), et de genre doux, c’est-à-dire dans laquelle les couples de propositions peuvent être soit composables, soit incomposables, par rapport à l’opération produit.

La logique traditionnelle, dite logique pure, est une logique des classifications, reposant sur le principe d’identité ; elle exclut les relations telles que les relations mathématiques, parce qu’elle se borne à l’unique catégorie de la substance. L’auteur distingue une logique pure, véritablement universelle, qui contient les principes de l’accord de la pensée avec elle-même, et une logique catégorique ou ontologique ayant pour but d’établir l’accord de la pensée réfléchie avec la réalité expérimentée ; cette logique contient autant de branches que de groupes de catégories, et l’on peut distinguer la logique mathématique, la logique des classifications, la logique des comportements (logique polyvalente de Reichenbach, logique potentielle de Pastore).

L’auteur cherche à montrer cru’un appel à l’évidence intuitive pour fonder les mathématiques n’est ni rejetable (comme il est prouvé par les recherches des intuitionnistes et des métamathématiciens), ni évitable, (comme il suit d’une analyse critique de la méthode syntactique de Carnap). Cet appel à l’intuition nécessite (à cause du caractère parfois trompeur de l’intuition) un fondement subjectif des mathématiques à côté du fondement objectif.

La science des nombres infinis, introduite par Cantor, semble être en conflit direct avec la philosophie, qui pose que le nombre infini est contradictoire.Nous examinerons les objections contre le nombre transfini. Nous arriverons au résultat, que le nombre infini, conçu comme symbole, satisfaisant à un certain nombre de postulats, n’est pas contradictoire, tandis que le nombre infini, déterminé, actuel et entier, a bien des propriétés contradictoires.Les objections contre le nombre infini reviennent à ce qu’on suppose tacitement, que le nombre infini doit avoir les propriétés des nombres finis ; et ensuite, on démontre facilement que le nombre infini est contradictoire.Il n’est pas permis d’appliquer la logique classique, qui est une résultante des propriétés des ensembles finis, aux nombres infinis, ce qui serait contraire à une logique plus générale, qui prescrit que l’application de certaines lois de la pensée ne doit pas excéder le domaine propre de ccs lois.

L’abîme entre le caractère individuel du discret et le caractère homogène du continu est resté, depuis la philosophie grecque jusqu’à nos jours un des problèmes centraux de la logique et des fondements des mathématiques. On a obtenu des progrès dans la méthode, mais fort peu dans les résultats. Du côté quantitatif, le problème est éclairé par le principe de non-dénombrabilité du continu. De la conception atomistique du continu, par le finitisme de l’école de Paris, le néo-intuitionnisme de Brouwer, la théorie dogmatique des Principia Mathematica, jusqu’à la méthode axiomatique, qui s’appuie sur une preuve de la non-contradiction ou sur un réalisme platonicien, ces écoles introduisent un grand nombre de nuances qui, dans ces dernières années, sont de plus en plus près de s’entendre réciproquement.

C’est principalement l’introduction de la notion de l’infini sous plusieurs formes successives et distinctes qui, à diverses époques, a placé la mathématique dans l’obligation de créer de nouvelles catégories logiques (axiomes, définitions, types de raisonnements), celles dont elle disposait précédemment ne lui permettant pas d’aborder avec succès les problèmes posés par les notions nouvelles. Mais l’élaboration de ces compléments logiques n’a pas été le fruit de vues a priori de l’esprit. Celui-ci a longuement, et sans apercevoir de lui- même ses erreurs, raisonné faussement, abusant des pétitions de principe, des postulats gratuits. C’est par une voie d’empirisme, en attendant l’apparition spontanée des conséquences contradictoires, des faits démentant des affirmations trop générales, que les mathématiciens ont progressivement amendé la logique dont ils usaient dans l’exploration de ces nouveaux domaines.L’auteur examine les axiomes de la logique mathématique actuelle résolvant le paradoxe d’Achille et de la tortue, les catégories logiques introduites par la considération des infiniment petits et des variables continues, par le transfmi.

L’auteur envisage sous quelques-uns de ses aspects la contribution que la géométrie analytique a apportée à la géométrie : introduction de la notion d’espace à n dimensions, avec les applications que cette notion apporte dans l’étude des figures tracées dans l’espace ordinaire ; généralisations diverses de la notion de coordonnées ; introduction des éléments imaginaires. L’auteur montre également comment c’est la géométrie analytique qui a fourni une démonstration rigoureuse de la non-contradiction de la géométrie non euclidienne et le rôle indispensable qu’elle doit jouer dans toute discussion sur les principes de la géométrie.

L’auteur examine la thèse qu’une proposition possède un caractère scientifique, en tant qu’elle est susceptible d’être vérifiée ou réfutée. Dans les systèmes déductifs, seuls les systèmes complets possèdent cette propriété. Mais les systèmes incomplets ne la possèdent pas. Il est, en principe, impossible de compléter certains systèmes incomplets.Dans les sciences empiriques, le problème de la vérification ou de la réfutation est lié au rapport des énoncés protocolaires (énoncés de base) avec les énoncés généraux (lois empiriques). Ici, la difficulté naît du fait que les mêmes énoncés de base peuvent vérifier différentes lois empiriques, ou même différentes théories (entendues comme ensembles des lois). La réfutation n’est jamais définitive : donc le procédé empirique des vérifications et des réfutations peut être continué indéfiniment, et il est bien possible que l’idéal d’une science finie ne sera jamais atteint.

J’essaie de montrer que la réalité inhérente aux théories mathématiques leur vient de ce que dans leur mouvement propre s’incarne comme le schéma des liaisons que soutiennent entre elles certaines idées abstraites dominatrices par rapport aux Mathématiques. Je montre en particulier comment le problème des rapports de Yessence et de Y existence reçoit dans les théories mathématiques effectives une solution toute différente de celles de l’intuitionnisme ou du formalisme.

La recherche d’une condition nécessaire et suffisante pour éviter les antinomies de la théorie des ensembles nous amène à formuler deux règles (dont le champ d’application dépend des directives du système donné) qui défendent l’introduction, dans le système, de certaines définitions non-prédicatives. L’observation de ces règles limite l’application de l’opération cantorienne, de sorte qu’on en arrive à distinguer, parmi les ensembles infinis, ceux dont la puissance fait partie de la série des alephs, et ceux dont la puissance dépasse n’importe lequel des termes de cette série.

Le but principal de la communication est d’esquisser les traits essentiels de la méthode appliquée dans les sciences déductives.1. A quoi tend la méthode déductive ? Termes primitifs et définis ; axiomes et théorèmes. Les sciences antérieures à une science donnée. La méthode déductive considérée comme propriété caractéristique des mathématiques.2. Liberté dans le choix des termes primitifs et des axiomes ; notion d’équivalence de deux systèmes de termes ou de propositions.Postulats d’indépendance des termes primitifs et des axiomes.3. Postulats de la formalisation des définitions et des démonstrations. Règles de définition et de démonstration ; les démonstrations complètes ; les sciences déductives formalisées. Le rôle de la logique mathématique au point de vue des nouvelles exigences méthodologiques.4. Les notions de science non-contradictoire et complète. L’importance théorique de ces notions ; leur rapport avec le problème de la vérité des mathématiques. Pourquoi les notions en question n’exercent pas en pratique une grande influence sur la construction des sciences mathématiques.5. Certaines propriétés des sciences mathématiques découlant d’une application conséquente de la méthode déductive. Abstraction du sens des termes primitifs dans la construction de la science. Modèles et interprétations du système d’axiomes. Concept de système formel. Valeur de la méthode déductive du point de vue de l’économie de la pensée.

La ligne faite de points peut-elle prétendre à la continuité ?Depuis Dedekind et Cantor, les mathématiciens l’affirment.Le « continu » linéaire, grâce aux points irrationnels, est un fait. Cela requiert pourtant que ces derniers soient infiniment plus nombreux que les points rationnels.Nous essaierons de montrer que la génération du point irrationnel est incompatible avec cette infinité, que :1° L’ensemble des irrationnels est dénombrable.2° Le point irrationnel n’est pas un point mais un espace.

Cette communication a pour objet de montrer la fécondité de la « règle réiste » issue de Brentano, d’après laquelle les objets de la pensée ou jugement sont des choses au sens d’être et non au sens de vérité. Appliquée à la question des vérités éternelles, cette règle permet, dans l’analyse du jugement, de montrer l’erreur de la théorie métaphysique qui donne une réalité à la vérité prise en elle-même.

Que la prédication n’est pas toujours attributive, et que le prédicat est seul nécessaire au jugement et à la phrase. — La logique classique, en mettant le prédicat dans le rapport, excluait le rapport du jugement ; le rapport véritablement posé est inhérent au prédicat et constitue le contenu rée] de la pensée. — Son expression dans la pensée mathématique et dans la pensée spontanée. — De l’appréciation exacte des rôles respectifs du sujet et du prédicat, et de leur signification dans la théorie de la connaissance.

Les deux aspects de la connaissance : nomologique et idiographique. Trois formes de la proposition disjonctive, dans leurs rapports avec la probabilité. La proposition disjonctive et le principe du tiers-exclu. Les jeux de hasard. Le principe de l’absence de raison suffisante n’est-il qu’une simple expression d’ignorance ? Le principe des spatiums comportaires: figuration, par le rapport d’unités spatiales visibles, de configurations instables, inaccessibles directement à la connaissance. Probabilité : connaissance de nature spéciale, qui postule le déterminisme.

La négation du déterminisme physique — pris dans le sens communément accepté par les savants — n’implique pas la négation du principe de causalité comme principe métaphysique, dont on se sert pour démontrer l’existence d’un Etre transcendant, et n’implique pas non plus la négation d’un déterminisme philosophique entendu en ce sens : tout ce qui est a une nature déterminée et un mode d’agir déterminé.

La différence entre loi causale et loi statistique est moins profonde qu’on ne le pense souvent; eile se réduit à une question de méthode. L’état actuel des recherches logiques sur la probabilité (dans les theories opposées de M. Keynes et de M. Reichenbach) montre qu’il faut asseoir ce calcul sur un principe d’induction : or l’induction n’est possible que par l'affirmation d’un déterminisme universel; la constance des lois statistiques rend seule possible l’usage du calcul des probabilités ; et toute loi statistique peut théoriquement se transformer en une loi causale.