Devant l’intuitionisme, on conçoit un cours d’analyse amputé du nombre irrationnel. Des théorèmes qui semblent liés à l’arithmétisation du continu subsistent pourtant, dans le style finitiste, remplaçant le style totalitaire. Le trait d’union est le critère de convergence de Cauchy. Cette idée révèle des domaines de non-contradiction et favorise les efforts de coordination, par exemple pour les problèmes d’une infinité d’équations à une infinité d’inconnues.

On montre comment on peut établir la non-contradiction d’une discipline sans l’arithmétiser et l’on précise la relation, même en logique intui- tionniste, entre la non-contradiction, la compatibilité et l’indépendance d’un système de propositions. On analyse ainsi la démonstration classique de la non- contradiction de la géométrie lobatchefskienne. Et l’on indique que la vérité des propositions mathématiques est relative.Quant à la cohérence de la logique elle-même, il ne semble pas que l’on connaisse actuellement de moyen sûr de l’établir.

C’est la critique des fondements mathématiques du pythagorisme qui fait la portée essentielle des apories de Zenon. Elle montre quelles conceptions s’opposaient alors à l’utilisation du continu et pourquoi l’époque de Zénon est soumise au règne persistant de la discontinuité. On ne doit pas faire remonter à Zénon l’origine du calcul infinitésimal. Interprétation des principaux arguments.

La combinatoire est la base de la logique leibnizienne.Notre plan : le postulat fondamental, son corollaire, les objections.Postulat fondamental : toutes les idées humaines sont décomposables en notions simples ne possédant aucun élément commun.Corollaire : toutes les notions purement positives sont compatibles entre elles. Objections : 10 Leibniz méconnaît la négation ; — 2° Leibniz néglige la relation ; — 3° la compénétration de tous les concepts par la notion d’être empêche d’admettre l’existence d’idées simples ne possédant aucun élément commun.

Examen de la situation actuelle dans le problème du fondement des mathématiques : rejet forcé de la solution formaliste ; critique de la solution intuitionniste ; position d’immanence exigée par l’analyse du processus d’abstraction mathématique.

En créant la géométrie analytique, Descartes semblait vouloir enlever même à la géométrie tout ce qui lui restait de qualitatif et d’empirique* Par ce fait, pour les rationalistes, la géométrie analytique présentait un des triomphes de la « vérité indépendante de Vempirisme et de toute psychologie ».Mais, néanmoins, une fois inventée et construite, la géométrie analytique commençait une vie à soi, devenait une entité vivante qui dispose d’elle-même, donnant au nombre avec le lieu géométrique sa valeur qualitative, accessible à l’expérience des sens, ce qui est inversement un triomphe de l’empirisme sur le rationalisme.

La mathématique est conditionnée par un objet formel constructif. De même, la logique. L’objet formel est identique pour les deux disciplines. Il est de nature rameuse. L’auteur donne quelques indications sur la théorie des ramifications qu’il a instituée. Il termine en signalant que la logique des prédicats et la distributivité du produit logique ont pour objet véritable la variété multidimensionnelle discrète des mathématiciens, un objet dont la genèse rameuse est une pièce importante de sa théorie.

La théorie traditionnelle des concepts étant classificatoire, ne comprend qu’une partie des formes de notre pensée. Comme complément nécessaire, l’auteur met en relief l’importance d’une catégorie de concepts qu’il propose de dénommer « concepts ordinateurs », parce qu’ils déterminent un certain ordre des objets de leur domaine d’application. Leur structure logique est élucidée par la théorie logistique des relations. L’auteur compare les avantages et les désavantages des deux formes de pensée et explique les raisons pour lesquelles une tendance à favoriser les concepts ordinateurs correspond au progrès de notre connaissance.

1. Position de la question. — 2. Conditions de la non-contradiction du calcul logique. Postulats de Tarski. — 3. Les logiciens conventionalistes (Lewis, Hahn, Carnap). — 4. Critique du principe des conventionalistes : convention et vérité. — 5. Autres difficultés. — 6. Le calcul logique et la logique.

La géométrie est un système catégorique de propositions non contradictoires entre elles. Parmi tous les systèmes de cette sorte, elle est privilégiée par le fait ultérieur que ses objets et leurs relations mutuelles peuvent être réalisés au moyen d’entités mathématiques. Le problème se pose de savoir sous quelles conditions primitives un système non contradictoire et catégorique peut être considéré comme une géométrie. Dans cet ordre d’idées, l’auteur expose les raisons, de nature intuitive, qui permettent d’introduire des coordonnées dans un système donné.

Le progrès d’une science comme la physique détermine dans la logique un mouvement correspondant ; elle aussi est en devenir. Dans le monde atomique en particulier, les relations d’incertitude d’Heisenberg et l’existence de valeurs quantifiées conduisent à la construction d’une logique mieux adaptée à ce genre de recherches, logique trivalente (Vrai, Faux, Absurde), et de genre doux, c’est-à-dire dans laquelle les couples de propositions peuvent être soit composables, soit incomposables, par rapport à l’opération produit.

La communication se divise ainsi : 1° elle indique l’ambiguïté du terme « formel », puisqu’on le dit d’une part de la logique classique (logique formelle) et d’autre part (comme il arrive dans les recherches modernes sur les fondements des mathématiques) d’un calcul, considéré comme ensemble désignés sans signification ; 2° elle éclaircit, grâce à l’analyse d’une opération de calcul, ce qu’il y a de commun aux deux concepts ; 3° elle montre comment les concepts formels sont liés aux concepts non formels, qui ont un contenu. Cette question est étroitement connexe de celle du rapport de la logique et de la mathématique pure d’une part, de l’expérience d’autre part ; 4° elle analyse le concept des nombres naturels, et elle étend les résultats obtenus à la mathématique pure.

La logique traditionnelle, dite logique pure, est une logique des classifications, reposant sur le principe d’identité ; elle exclut les relations telles que les relations mathématiques, parce qu’elle se borne à l’unique catégorie de la substance. L’auteur distingue une logique pure, véritablement universelle, qui contient les principes de l’accord de la pensée avec elle-même, et une logique catégorique ou ontologique ayant pour but d’établir l’accord de la pensée réfléchie avec la réalité expérimentée ; cette logique contient autant de branches que de groupes de catégories, et l’on peut distinguer la logique mathématique, la logique des classifications, la logique des comportements (logique polyvalente de Reichenbach, logique potentielle de Pastore).

L’auteur cherche à montrer cru’un appel à l’évidence intuitive pour fonder les mathématiques n’est ni rejetable (comme il est prouvé par les recherches des intuitionnistes et des métamathématiciens), ni évitable, (comme il suit d’une analyse critique de la méthode syntactique de Carnap). Cet appel à l’intuition nécessite (à cause du caractère parfois trompeur de l’intuition) un fondement subjectif des mathématiques à côté du fondement objectif.

Pour la logique à m valeurs, selon Lukasiewicz, l’on introduit un système de négations généralisées (c’est-à-dire de liaisons d’expressions à un seul membre), qui sont caractérisées par l’indication de leurs matrices. On montre :1° Que ces négations généralisées peuvent se définir explicitement au moyen des liaisons fondamentales, négation et implication ;2° Qu’elles permettent de formuler des généralisations des principes du tiers exclu et de contradiction pour la logique à m valeurs ;3° Qu’elles permettent de prendre les matrices ordinaires au sens de règles de transformation et de construire ainsi une syntaxe spécifique pour tout système à m valeurs.

La science des nombres infinis, introduite par Cantor, semble être en conflit direct avec la philosophie, qui pose que le nombre infini est contradictoire.Nous examinerons les objections contre le nombre transfini. Nous arriverons au résultat, que le nombre infini, conçu comme symbole, satisfaisant à un certain nombre de postulats, n’est pas contradictoire, tandis que le nombre infini, déterminé, actuel et entier, a bien des propriétés contradictoires.Les objections contre le nombre infini reviennent à ce qu’on suppose tacitement, que le nombre infini doit avoir les propriétés des nombres finis ; et ensuite, on démontre facilement que le nombre infini est contradictoire.Il n’est pas permis d’appliquer la logique classique, qui est une résultante des propriétés des ensembles finis, aux nombres infinis, ce qui serait contraire à une logique plus générale, qui prescrit que l’application de certaines lois de la pensée ne doit pas excéder le domaine propre de ccs lois.

L’abîme entre le caractère individuel du discret et le caractère homogène du continu est resté, depuis la philosophie grecque jusqu’à nos jours un des problèmes centraux de la logique et des fondements des mathématiques. On a obtenu des progrès dans la méthode, mais fort peu dans les résultats. Du côté quantitatif, le problème est éclairé par le principe de non-dénombrabilité du continu. De la conception atomistique du continu, par le finitisme de l’école de Paris, le néo-intuitionnisme de Brouwer, la théorie dogmatique des Principia Mathematica, jusqu’à la méthode axiomatique, qui s’appuie sur une preuve de la non-contradiction ou sur un réalisme platonicien, ces écoles introduisent un grand nombre de nuances qui, dans ces dernières années, sont de plus en plus près de s’entendre réciproquement.

C’est principalement l’introduction de la notion de l’infini sous plusieurs formes successives et distinctes qui, à diverses époques, a placé la mathématique dans l’obligation de créer de nouvelles catégories logiques (axiomes, définitions, types de raisonnements), celles dont elle disposait précédemment ne lui permettant pas d’aborder avec succès les problèmes posés par les notions nouvelles. Mais l’élaboration de ces compléments logiques n’a pas été le fruit de vues a priori de l’esprit. Celui-ci a longuement, et sans apercevoir de lui- même ses erreurs, raisonné faussement, abusant des pétitions de principe, des postulats gratuits. C’est par une voie d’empirisme, en attendant l’apparition spontanée des conséquences contradictoires, des faits démentant des affirmations trop générales, que les mathématiciens ont progressivement amendé la logique dont ils usaient dans l’exploration de ces nouveaux domaines.L’auteur examine les axiomes de la logique mathématique actuelle résolvant le paradoxe d’Achille et de la tortue, les catégories logiques introduites par la considération des infiniment petits et des variables continues, par le transfmi.

L’auteur envisage sous quelques-uns de ses aspects la contribution que la géométrie analytique a apportée à la géométrie : introduction de la notion d’espace à n dimensions, avec les applications que cette notion apporte dans l’étude des figures tracées dans l’espace ordinaire ; généralisations diverses de la notion de coordonnées ; introduction des éléments imaginaires. L’auteur montre également comment c’est la géométrie analytique qui a fourni une démonstration rigoureuse de la non-contradiction de la géométrie non euclidienne et le rôle indispensable qu’elle doit jouer dans toute discussion sur les principes de la géométrie.

L’auteur examine la thèse qu’une proposition possède un caractère scientifique, en tant qu’elle est susceptible d’être vérifiée ou réfutée. Dans les systèmes déductifs, seuls les systèmes complets possèdent cette propriété. Mais les systèmes incomplets ne la possèdent pas. Il est, en principe, impossible de compléter certains systèmes incomplets.Dans les sciences empiriques, le problème de la vérification ou de la réfutation est lié au rapport des énoncés protocolaires (énoncés de base) avec les énoncés généraux (lois empiriques). Ici, la difficulté naît du fait que les mêmes énoncés de base peuvent vérifier différentes lois empiriques, ou même différentes théories (entendues comme ensembles des lois). La réfutation n’est jamais définitive : donc le procédé empirique des vérifications et des réfutations peut être continué indéfiniment, et il est bien possible que l’idéal d’une science finie ne sera jamais atteint.