J’essaie de montrer que la réalité inhérente aux théories mathématiques leur vient de ce que dans leur mouvement propre s’incarne comme le schéma des liaisons que soutiennent entre elles certaines idées abstraites dominatrices par rapport aux Mathématiques. Je montre en particulier comment le problème des rapports de Yessence et de Y existence reçoit dans les théories mathématiques effectives une solution toute différente de celles de l’intuitionnisme ou du formalisme.

La recherche d’une condition nécessaire et suffisante pour éviter les antinomies de la théorie des ensembles nous amène à formuler deux règles (dont le champ d’application dépend des directives du système donné) qui défendent l’introduction, dans le système, de certaines définitions non-prédicatives. L’observation de ces règles limite l’application de l’opération cantorienne, de sorte qu’on en arrive à distinguer, parmi les ensembles infinis, ceux dont la puissance fait partie de la série des alephs, et ceux dont la puissance dépasse n’importe lequel des termes de cette série.

Les divers points de vue relatifs au concept mathématique de l’infini sont ordonnés en série croissante d’après le degré où l’on reconnaît ce concept en ses diverses complications. Cette série est divisée en trois groupes : la mathématique du fini, la « conception constructive », et la « conception en soi » de l’infini. D’après cette série, l’on explique le programme d"Hilbert, qui est de prouver que la mathématique est libre de contradiction, et l’on rapporte brièvement les méthodes qui sont en question pour administrer cette preuve.

La solution des antinomies s’accomplit en 3 étapes. 1° La théorie des types de Russell avec l’axiome de réductibilité. 2° Ramsey divise les antinomies en deux groupes. Le premier groupe reçoit sa solution de la simple théorie des types ; seul, le groupe élargi exige l’axiome de réductibilité. 3° Hilbert fonde la théorie métamathématique de la preuve, que les logiciens polonais élargissent en une métalogique. Gödel découvre l’arithmétisation et il prouve l’existence de propositions insolubles. Tarski montre que le concept de vérité ne peut être défini sans contradiction que dans un métalangage. Carnap généralise ce résultat, ce qui fait que les antinomies syntactiques sont sans dommage pour la science.

Le but principal de la communication est d’esquisser les traits essentiels de la méthode appliquée dans les sciences déductives.1. A quoi tend la méthode déductive ? Termes primitifs et définis ; axiomes et théorèmes. Les sciences antérieures à une science donnée. La méthode déductive considérée comme propriété caractéristique des mathématiques.2. Liberté dans le choix des termes primitifs et des axiomes ; notion d’équivalence de deux systèmes de termes ou de propositions.Postulats d’indépendance des termes primitifs et des axiomes.3. Postulats de la formalisation des définitions et des démonstrations. Règles de définition et de démonstration ; les démonstrations complètes ; les sciences déductives formalisées. Le rôle de la logique mathématique au point de vue des nouvelles exigences méthodologiques.4. Les notions de science non-contradictoire et complète. L’importance théorique de ces notions ; leur rapport avec le problème de la vérité des mathématiques. Pourquoi les notions en question n’exercent pas en pratique une grande influence sur la construction des sciences mathématiques.5. Certaines propriétés des sciences mathématiques découlant d’une application conséquente de la méthode déductive. Abstraction du sens des termes primitifs dans la construction de la science. Modèles et interprétations du système d’axiomes. Concept de système formel. Valeur de la méthode déductive du point de vue de l’économie de la pensée.

La ligne faite de points peut-elle prétendre à la continuité ?Depuis Dedekind et Cantor, les mathématiciens l’affirment.Le « continu » linéaire, grâce aux points irrationnels, est un fait. Cela requiert pourtant que ces derniers soient infiniment plus nombreux que les points rationnels.Nous essaierons de montrer que la génération du point irrationnel est incompatible avec cette infinité, que :1° L’ensemble des irrationnels est dénombrable.2° Le point irrationnel n’est pas un point mais un espace.

I. Philosophie scientifique et Syntaxe logique. Nécessité d’une interprétation. — II. Logique et mathématique. La distinction kantienne : « analytique »-« synthétique » est remplacée par une distinction entre « formel » et « objectif ». Touchant ici la mathématique et la logique, on traite surtout du côté objectif : qui, en mathématique, consiste dans l’existence de rapports mathématiques, indépendants de la formulation en proposition, et dans la véri- ficabilité de lois arithmétiques ; en logique, dans le rapport implicite des termes et des principes à certains caractères de la réalité. — III. Arithmétique et géométrique sont distingués selon la considération du discret et du continu. Précision formelle des concepts mathématiques intuitifs. — IV. Pour la problématique des fondements. Réflexions et indications sur la situation présente des recherches.

Cette communication a pour objet de montrer la fécondité de la « règle réiste » issue de Brentano, d’après laquelle les objets de la pensée ou jugement sont des choses au sens d’être et non au sens de vérité. Appliquée à la question des vérités éternelles, cette règle permet, dans l’analyse du jugement, de montrer l’erreur de la théorie métaphysique qui donne une réalité à la vérité prise en elle-même.

Que la prédication n’est pas toujours attributive, et que le prédicat est seul nécessaire au jugement et à la phrase. — La logique classique, en mettant le prédicat dans le rapport, excluait le rapport du jugement ; le rapport véritablement posé est inhérent au prédicat et constitue le contenu rée] de la pensée. — Son expression dans la pensée mathématique et dans la pensée spontanée. — De l’appréciation exacte des rôles respectifs du sujet et du prédicat, et de leur signification dans la théorie de la connaissance.

Les deux aspects de la connaissance : nomologique et idiographique. Trois formes de la proposition disjonctive, dans leurs rapports avec la probabilité. La proposition disjonctive et le principe du tiers-exclu. Les jeux de hasard. Le principe de l’absence de raison suffisante n’est-il qu’une simple expression d’ignorance ? Le principe des spatiums comportaires: figuration, par le rapport d’unités spatiales visibles, de configurations instables, inaccessibles directement à la connaissance. Probabilité : connaissance de nature spéciale, qui postule le déterminisme.

L’auteur développe les fondements de sa propre méthode « organismique » dans la Biologie ; ses principes essentiels, par rapport aux theories antérieures, sont les suivants : Considération totalitaire des phénomènes biologiques, par opposition à leur considération analytique ; conception systématique des phénomènes biologiques au lieu de leur sommation ; dynamisme au lieu de mécanisme ; primauté de l'actvité organique et non plus de la réaction. Sous le point de vue de l’organismisme on traite une série de questions fondamentales de biologie théorique : possibilité d’une exposition mathématique des lois biologiques, problème de la finalité et de l’equifinalité, mécanisme et vitalisme, rapport des lois physiques et des lois biologiques, signification de l'indéterminisme physique pour les faits biologiques.

La négation du déterminisme physique — pris dans le sens communément accepté par les savants — n’implique pas la négation du principe de causalité comme principe métaphysique, dont on se sert pour démontrer l’existence d’un Etre transcendant, et n’implique pas non plus la négation d’un déterminisme philosophique entendu en ce sens : tout ce qui est a une nature déterminée et un mode d’agir déterminé.

La différence entre loi causale et loi statistique est moins profonde qu’on ne le pense souvent; eile se réduit à une question de méthode. L’état actuel des recherches logiques sur la probabilité (dans les theories opposées de M. Keynes et de M. Reichenbach) montre qu’il faut asseoir ce calcul sur un principe d’induction : or l’induction n’est possible que par l'affirmation d’un déterminisme universel; la constance des lois statistiques rend seule possible l’usage du calcul des probabilités ; et toute loi statistique peut théoriquement se transformer en une loi causale.

Hegel montre que la vérité est éternelle, que l'ego est l’unité de la vérité, et par là éternel, et que l’objectivité est issue du corps de vérité conceptuelle connue. La physique joue le mêmе role pour l’univers physique : un corps de vérité, mathématiquement déduit d’une identité А = A, et une objectivité, issue de ce corps de vérité qui n’existe qu’une fois connu. L’identité А = A est identifiable avec le ego sum ego.

L’auteur rappelle que le théorème de Bernoulli est distinct de la loi des grands nombres ; et que l’équivalence pratique des probabilités a priori et des fréquences empiriques est un fait a posteriori considérable. — La répartition globale des espèces de l'événement dans des proportions rationnelles a une роrtéе cosmologique. — Importance gnoséologique de la réussite (dans des conditions bien définies) d’inductions basées sur une spéculation architectonique et idéalement instaurative.

Les concepts de systéme physique, de mesure, de prévision, sont d’abord précisés. Ils conduisent à faire intervenir un observateur, d’où une « physique du solitaire ». Pour parvenir à une «physique collective », il faut admettre en outre un « principe des signaux » qui établit une solidarité entre les observateurs. Le résultat de cette étude est qu’à l’echelle atomique les notions classiques perdent toute signification, même les notions d’espace et de temps qui n’ont qu’un caractère statistique. Cela entraine des lois indetérministes et réciproquement. Les seuls éléments objectifs sont l’existence des corpuscules, les résultats de mesure et les probabilités concernant les résultats de mesures ultérieures.

La théorie de la probabilité paraît avoir surtout cherché les raisons quantitatives, développées dans la forme du calcul des probabilités. On veut chercher, dans le sens où Descartes appuie une probabilité (pratique, pour lui) sur l’opinion des « mieux sensés », si le fond des méthodes ou des raisonnements qui aboutissent au probable n’est pas dans le tissu de plus en plus serré de rapports qui construit notre expérience et, s’appliquant au jugement présent, en mesure la valeur.

La philosophie des sciences arrivées à leur stade contemporain, enrichit la vieille notion de causalité de significations nouvelles. II existerait deux types de causalité. Une causalité qui régit les phénomènes physico-chimiques et qui se caractérise par l'actualisation d’un ordre symbolisé par la notion d'invariant, sur une virtualisation (ou rejet dans le possible) de l’ordre contradictoire de la diversité ou du variant. Une deuxieme causalité, de même nature et de même structure, mais inverse, commanderait les phénomènes vitaux, et se signalerait par l’emprise, cette fois, du variant sur l’invariant, virtualisé par l’actualisation du premier. Cette double causalité engendrerait deux processus inverses des mêmes élements, interférant et agissant l’un sur l’autre, en un déterminisme intégral ou que nous appellerions synallagmatique.

Les traits essentiels et généraux de la méthode, tant en mathématique qu’en physique, se manifestent dans l'influence de chacune de ces sciences sur I'évolution de l’autre. Rôle fondamental, sous ce rapport, du raisonnement déductif. Quelques remarques relatives au raisonnement déductif.Caractère de l’influence réciproque de ces sciences (la mathématique et la physique) sur leur évolution mutuelle. Le déterminisme sans restriction est la condition de l’existence de la science.

Les résultats de la physique quantique rendent manifeste une vérité que les philosophes sont en général mal disposés à reconnaître : c’est que le déterminisme n’est pas une affirmation sur la structure des choses, mais une méthode qui ne sert qu’à prédire le cours futur des événements. Les savants, en découvrant ses limites, ont donné aux philosophes et surtout aux logiciens une leçon inestimable sur la methode de la science et la nature de la eonnaissance.